재무 관리 화폐 시간 가치 연금의 미래 가치

지난번에는 일시불에 대해서 재무관리 중 화폐의 가치에 대해서 알아보고 포스팅하였습니다  다시금 정리해보면 일시불은 돈을 한번 넣는 것 즉 현금의 흐름이 단 한 번뿐 인것을을 우리가 일시불이라고 부르자라고 약속하였다.

 

일시불 중에 미래 현금가치 와 현재가치는 얼마일까?라는 궁금증을 해결하기 위해 미래 화폐의 가치를 계산하는 방법을 설명했다 다시 한번 소개하자면 일시불을 복리 즉 한 번도 뺴지않고 이자에 이자를 더하는 방식으로 예금을 해두었다면 만약 1기  단 한 번 일시불로 100만 원을 입금했다고 가정하고 이자율을 10% 라고 한다면  2기 말에는 즉 1년후에는 100만원 에 이자 10 만원 을 합산하여 110만 원 100만 원의 1년 후의 가치는 110 만원이 되는 것이고 3기 말에는  121 만원 이 되는 것을 알 수 있다  우리는 이것을 일반항으로 정리를 하자면  (n = 몇년후 , C =입금금액 , R = 이자율 , A 정답 lable 은 화폐의 시간가치) An = C(1+R) ** n 이 되는 일반식 을 도출해낼수있다 거꾸로 계산하면 현재가치도 알수있다 

 

하지만 화폐의 시간가치 중 크게 두 가지 종류가 있다고 했다 첫 번째 위에 말할 일시불과 또 다른 연금이다 연금은 똑같은 금액의 현금흐름이 여러 번 있는 것을 말한다 쉽게 말하자면 100만 원을 매년마다 똑같이 넣는 것이다 입금 여러 번을 현금의

흐름이 여러 번 있다고 이야기하는 것이다 

 

이렇게 알아보았는데 이번에는 연금의 미래가치와 현재 가치를  알아보는 방법을 알아보겠다 사실 연금의 미래가치는 약간의 수학이 들어가 있다 경영학과 사람들이 왜 미적분을 알 수 있는 시간이다 근대 최대한 짧고 쉽게 설명해보겠다

 

1 연금의 미래가치 

0 은 현재 1은 1년 후 라고 생각한다면 1년후 100만 원 2년후도 백만원 3년후도 100만원 4년 후도 100만 원이라면 총현재로부터 4년 후까지 연금으로 예금되어있는 돈은 총 400만 원이다  그리고 이자가 10% 라고 한다면 1년 차에서 4년 후에는  100( 원금 ) (1+0.1(이자율)) ** 3 +  100( 원금 ) (1+0.1(이자율)) ** 2 +..+... 100 (원금) 이렇게 하면 4년 차 100만 원 씩 일정하게 입금하였을떄 C+ C*(1+R) +C*(1+R)**2 +C(1+R) ** n -1 까지의 계산이 나온다 근대 가만보니까 어디서 본식이다 첫항이 C이고 똑같이 등비가 (1+R) 이 곱해지는 등비 수열 이였다   혹시 등비수열의  합이 기억나는가 ?  Sn = a(1-r**n) / 1- r 이라는 첫쨰항부터 제 n 항 까지의 합을 구하는 공식이였다  자 손으로 계산하고 식으로 계산해보겠다 

1 분기 100만원 을 이자 10 %라고 한다면 : 100 만원

2분기 100만 원을 예금하고 1분기 금액을 더해준다 : 210 만원 

3분기에서 에서는 총 : 1분기 이자와 원금 121 + 2분기 이자 110  +  3분기 원금 100 ( 3분기 예금 금액 포함 )  = 331

4분기 5분기 계산하면 상상만 해도 가득한 수식으로 짜증 난다 하지만 밑에 식을 사용하면 등비수열의 합읠 사용해서 깔끔하게 정리할 수 있다 

 

 (1+n) R = C(1+n) + C(1+n) **2 + C(1+n) **3 + ... + C(1+n) **i

-L       R =       C   + C(1+n)       + C(1+n) **2 +      C(1+n) **3 + ... + C(1+n) **i - 1

 

L (1+n)R - R = C(1+n) ** i - C 가 남는다 여기서 같은 변수끼리 묶어주면 R( (1+n) -1 ) = C { (1+n)**i -1 } 이남는다 식을 말끔하게 정리해 준다면 R = C * ( 1+n) ** i - 1 / n 이 된다 한번 이식을 가지고 계산을 해보겠다  

 

 C원금 * ( 1+ n)**i -1 /   n = 은 이자율  10% 인 0.1   =  331 만원이 나온다 위에 계산식과 똑같이 나온다 근대 이걸다더 해주 자면 어렵다 식의 과정을 외우지 않아도 된다 이식은 언제쓰는지 확실히 정해져있기에 외우지않아도 된다 그냥 연금의 미래가치를 알아볼 때 사용하면 된다 

 

자이거의 정답을 한번 구해봐라 정답은 1052 원이다

 

 

 

 

2 연금의 현재 가치

사실 이것도 위처럼 등비수열의 식이 나열된다 위에 사진에서 현금가치를 알아보자고 한다 위에를 보면 1년 후에 100만 원 의 미래가치는 100만원 그대로일 것이다 자 한번 계산해보겠다 

 

미래 가치를 일시불 알아보는 방법은 원금 C * (1 + R) = 미래가치라고 했다 그러면  현재 가치 C를 구하는 방법은 미래가치를  구하는 방식의 ( 1+ R)을 나눠주면 현재가치 C는 =  미래가치 / ( 1+ R ) 인 셈이다 그러면 자 그러면 2년 차 때는 

C(1+R) ** 2 = 2년 후 미래가치인데 또다시 현재가치를 구해주자면   C는 =  미래가치 / ( 1+ R )  ** 2 인생이다 하지만 예금은 매년 같은 현금흐름이 같을 때를 이야기한다고 했다 그러면 n 연차까지   C는 =  미래가치 / ( 1+ R )   +...+  C는 =  미래가치 / ( 1+ R )  ** n까지 쭉 더하는 것은 미려한 방법이다 이것도 가만 보면 미래가치 / (1+R) ** n을공비로 같는 공비수열의합인샘이다 그러면  위에와 같이 식을 도출해내면   같은 금액의 현재 현금 가치는 =  C( 원금 ) * (1+r) -1 / R(1+r) ** n 을 가지는것을 뚝딱 계산해볼수있다  

 

"  같은금액의 현재현금 가치는 =  C( 원금 ) * (1+r) -1 / R(1+r) ** n "

 

 

3 연금의 몇 가지 특징

마지막으로 연금의 몇가지 특징을 살펴보겠다 자 다시 현재 현금가치를 식을 가져와볼 것이다  그 혹시 미적분을 배울 때  등비수열의 부분 합이 생각 나는 가? 만약 공비를 r 로두고  절댓값이  - 1 < r < 1에 있다면 극한값이 lim r-> * 로갈떄  = 0으로 수렴한다는 것을 사실 금리는 200% 이렇게 가지 않아 거의 -1 ~ 1 사이에 분포시킬 수 있다   

  lim n ->  *  극한으로 부분합 공식을 구해보면  Rn= C( 원금 ) * (1+r) -1 / R(1+r) ** n   중에서 C/R을 lim 밖으로 뺄 수 있다 그러면   C*-1/N lim ->* (1+n)**i / n이다 그리고  (1+n) 이 우리는 r 즉 공비가   0으로 다가간다는 것을 알고 있기 때문에  0/n 은 0이다  그러면 C / N 이 남는다는 것을 알 수 있다 

우리가 무엇을 위해 이렇게 열심히 식을 구해왔는가? 질문한 것이다 위에 큰 제목처럼 몇 가지 특징이 있다 바로  만약 무한대로 같은 금액을 입금한다했을 때 현재 가치는 도당체 얼마인가 ? 를 알기위해서 이다 일정하게 100만원씩 넣는다고 했을떄  그 구하는 공식은 C/R이다 

 

하지만 특정 일정률로 성장하는 현금흐름은  성장률을 G라고 할 때 현재가치를 구해보면  C/R-g이다 (단 R> g )

 C/R  공식은 재로 성장 모형이라고 하고 C/ R- G는 항상 성장 모형 (  고든 모형 )을 구할 때 사용하는 공식이다